三、 （本题满分6分）
求I arctan ex
2x
dx.
(2) 计算行列式IA+E 1.
十一、（本题满分7分）
设某班车起点站上客人数X服从参数为入（入>O)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为
p (O
(2) 二维随机变量(X,Y)的概率分布
十二、（本题满分7分）
设总体X服从正态分布N(µ 正）(cr>O), 从该总体中抽取简单随机样本X1,X2, …, X2n (n ;:= 2) ,
2n
n
其样本均值为X= 1
2n.
—二X;, 求统计量Y= 三(X; + Xn+i -2X尸的数学期望E(Y).
, = 1
i = 1
47
--- [第 49 页] ---
历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
2002年全国硕士研究生招生考试试题
一、 填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
(2) 已知函数y = y (x)由方程er+ 6xy + x
2 - l = 0确定，则y"(O) =
(3) 微分方程yy"+ (y')
2 = 0满足初始条件y
= l ,y'
= _!___的特解是
．
2
X =0
(4) 已知实二次型J(x1,x2 ,x3) = a(式+x; +忒）+ 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3 经正交变换X= Py可化
成标准形f=6计，则a=
(5) 设随机变量X服从正态分布N(µ.,'矿）(u > O), 且二次方程y
2+ 4y + X = 0无实根的概率为
1
—，则µ.,=
2
二、 选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
(1) 考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质：
心f(x,y)在点(x。,y。)处连续；
(2) f(x ,y)在点(x。,y。)处的两个偏导数连续；
@J(x,y)在点(x。,y。)处可微；
@J(x,y)在点(x。,y。)处的两个偏导数存在
若用"P==>Q"表示可由性质P推出性质Q,则有（
）
(A) (2)==>@==>CD.
(B) @==>(2)==>CD.
(C)®=>@=>CD.
(D)®=>CD=>@.
(2) 设Un "P O (n = l , 2, 3 , …），且lim立
1则级数三(
1)
n+l 1
1
＋
（
）
n--+co U
n=l
(Un
Un+l
)
(A)发散
(B)绝对收敛
(C)条件收敛.
(D)收敛性根据所给条件不能判定．
(3) 设函数y = f(x)在(O,+oo)内有界且可导，则（
）
(A)当lim/(x) = 0时，必有lim/'(x) = 0.
x-> + co
x--+ + co
(B)当lim/'(x)存在时，必有lim/'(x) = 0.
无->+co
无--++ co
(C)当limf(x) = 0时，必有limf'(x) = 0.
x---+O +
x---+O +
(D)当limf'(x)存在时，必有limf 1 (X) = Q.
欠一-0 +
x---+O +
(4) 设有三张不同平面的方程ailx+ai2y+a;3Z= b;,i = 1,2,3, 它们所组成的线性方程组的系数矩
48
阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为（
）
(A)
(B)
(C)
(D)
--- [第 50 页] ---
2002年真题
(5) 设X1 和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1 (x)和儿(x)'分
布函数分别为F1 (x)和F2(x), 则（
）
(A)f1(x) +儿(x)必为某一随机变量的概率密度
(B队(x)儿(x)必为某一随机变量的概率密度
(C)F1 (x) +凡(x)必为某一随机变鼠的分布函数
(D)F1 (x)凡(x)必为某一随机变量的分布函数
三、 （本题满分6分）
设函数八x)在X= 0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)
=ft O, f I (0) oft O, 若af(h)+ bf(2h) -
f(O)在h ----+ 0时是比h高阶的尤穷小，试确定a,b的值
四、 （本题满分7分）
arctan x
已知两曲线y= f(x)与y= J
e-
t
2 dt在点(O,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限
！吧nf片）．
五、 （本题满分7分）
计算二重积分』e
max 压气r2I dxdy, 其中D= j
(x,y) IO::::;x::::;I,O:=::;y:=::;If.
六、（本题满分8分）
设函数八x)在(-oo,+oo)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y > O)内的有向分段光滑曲线，
其起点为(a,b),终点为(c,d). 记
I= f _!_[I+ y汀(xy)] dx + 4 [ y汀(xy) -1] dy.
L y
y
(2) 当ab= cd时，求I的值
七、（本题满分7分）
3
6
9
3n
(1) 验证函数y(x)= 1 +王十王十王＋…
x
3 !
6!
9!
＋ (3n)'
y" + y'+ y = e
x
;
00
x3n
(2) 利用(1)的结果求幕级数三
的和函数
n=O (3n) !
八、（本题满分7分）
+···(-oo < x<+oo)满足微分方程
设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D= i (x , y) I x
2 + y
2 -xy
::::; 75 f, 小山的高度函数为h(x,y)= 75 -x
2 -y
2 +xy.
(1) 设M(x。,y。) 为区域D上一点，问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方
向导数的最大值为g(x。,y。)，试写出g(x。,y。)的表达式
49
--- [第 51 页] ---
历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
(2) 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点．
也就是说，要在D的边界线x
2 + y
2 - xy = 75上找出使(1)中的g(x,y)达到最大值的点试确定
攀登起点的位置．
九、（本题满分6分）
已知4阶方阵A = (a1 , a2 , 也立4 )' a1 ' a2' a3 ' a4 均为4维列向量，其中也立3 ,lr4 线性尤关，
a1 = 2a2
一U3. 如果/J= a1 + a2 十U3 十U4 '求线性方程组Ax =/J的通解．
十、（本题满分8分）
设A,B为同阶方阵，
(1) 如果A,B相似，试证A,B的特征多项式相等．
(2) 举一个2阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立．
(3) 当A,B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．
十一、（本题满分7分）
设随机变量X的概率密度为
f(x) = 1½cos f ,
0 ,es; x ,es;'Ir ,
0,
其他，
对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大千卫的次数，求y
z的数学期望．
3
十二、（本题满分7分）
设总体X的概率分布为
X
O
I
p
02
20(1 - 0)
其中0(0<0<½)是未知参数，利甩总体X的如下样本值
2
。2
3
1 - 20
3, 1 ,3 ,0 ,3, 1 ,2 ,3,
求0的矩估计值和最大似然估计值
50
--- [第 52 页] ---
2003年真题
2003年全国硕士研究生招生考试试题
一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
(1) lim ( cos x) ln(l+x2) =
.
x---->()
( 2) 曲面z = x
2 + y
2 与平面2x+ 4y -z = 0平行的切平面的方程是
．
( 3) 设x
2 =三a ncos nx(-'ITx'IT), 则a 2 =
.
n=O
(4) 从R
2 的基a1 = (đ)立
＝（＿＼）到基/J1 = G), 化
= (Ē)的过渡矩阵为
(5) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f( x ,y) = { 6x ,
0 =:S; x =:S; y =:S; I ,
0,
其他，
则PjX+Y=:S;If =
(6) 已知一批零件的长度X(单位：cm) 服从正态分布N(µ,I),从中随机地抽取16个零件，得到长
度的平均值为40( cm) , 则µ的置信度为0.95的置信区间是
．
（注：标准正态分布函数值中(1.96) = 0. 975, 中(1. 645) = 0. 95. )
二、 选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
(1) 设函数f( x) 在(-oo,+oo)内连续，其导函数的图形如图所示，则
f(x) 有（
）
(A) 一个极小值点和两个极大值点
( B ) 两个极小值点和一个极大值点
( C ) 两个极小值点和两个极大值点
( D) 三个极小值点和一个极大值点
( 2) 设1 aJ , 1 bJ , 1 cJ均为非负数列，且lim a n = 0, lim b n = I , lim en = oo , 则必有（
）
n--+oo
n--+oo
n--+oo
y
X
( A) a n < b n 对任意n成立.
( B ) 从< en 对任意n成立．
( C ) 极限lim a nc n 不存在
( D) 极限lim b nc n 不存在
n---->oo
n---->oo
( 3) 已知函数J( x,y)在点( O,O) 的某个邻域内连续，且lim f(x; r) 二飞! = I, 则（
）
芦
( x + y
( A) 点( O,O) 不是J(x,y) 的极值点
( B ) 点( O,O) 是八x,y) 的极大值点
( C ) 点( 0,0) 是f(x,y) 的极小值点
( D) 根据所给条件无法判别点( O,O)是否为J(x,y) 的极值点
(4) 设向單组I :a1 ,a2 , …，q可由向侬组II :P 1 ,P2 , …, P, 线性表示，则（
）
( A) 当r < s时，向阰组1I 必线性相关.
( B ) 当r > s时，向阰组1I 必线性相关．
( C ) 呏r < s时，向阰组l必线性相关
( D)ēr >s时，向阰组l必线性相关
( 5)设有齐次线性方程组Ax= 0和Bx= 0, 其中A,B 均为m xn矩阵，现有4个命题：
心若Ax= 0的解均是Bx= 0的解，则秩(A) ;::=秩( B) ;
51
--- [第 53 页] ---
历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
＠若秩(A)Ě 秩(B)'则Ax=0的解均是Bx=0的解；
＠若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B);
＠若秩(A)=秩(B)'则Ax=0与Bx=0同解．
以上命题中正确的是（
）
(A)心(2).
(B)心＠．
(6) 设随机变量X - t(n)(n > l),Y = 1 x2'则（
(C)(2)@.
）
(A)Y -x
2(n).
(B)Y -x2(n -1).
(C)Y - F(n,1).
三、 （本题满分10分）
(D)@@.
(D)Y - F(I,n).
过坐标原点作曲
线y = In x的切线，该切线与曲线y = In x及x轴围成平面图形D.
(I)求D的面积A;
(2) 求D绕直线X = e旋转一周所得旋转体的体积V.
四、 （本题满分12分）
将函数f(x) = arctan 1 -2x
00
1
+ 2x 展开成x的幕级数，并求级数三(-1) n
n =o 2n + I 的和
五、 （本题满分10分）
已知平面区域D = Hx,y) IO::::;x::::;1
T,O::::;y::::;1Tf ,L为D的正向边界．试证：
(1) f xesiny dy -ye-sinxdx = f xe-siny dy -yesinxdx;
L
(2) fxesinydy -ye-sinxdx;:: 2佥
L
六、（本题满分10分）
某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功
设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k > O), 汽锤第一次击打
将桩打进地下a(m). 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之
比为常数r(O < r < 1). 问
(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？
（注：m表示长度单位米）
七、（本题满分12分）
设函数y = y(x)在(-oo,+oo)内具有二阶导数，且y'=/= O,x = x(y) 是y = y(x)的反函数
d坛
(1) 试将X
( )所满足的微分方程
dx
+ (y + sm x) (面)3 = 0变换为y = y(x)满足的微分方程；
= X y
dy2
3
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(O) = O,y'(O) =—的解．
2
52
--- [第 54 页] ---
八、（本题满分12分）
设函数f(x)连续且恒大于零，
ffJ J(x
2
十y
2+ z
2)dv
F(t) = n(tl『f(x
2+ /)du'
D(t)
其中趴t)= l (x , y, z) I x
2
十y
2+z
2 :::;; t勹，D(t)
(1) 讨论F(t)在区间(O,+oo)内的单调性．
2
(2) 证明：当t > 0时，F(t) >
—G(t).
'1T
九、（本题满分10分）
2003年真题
』f(x
2+ y
2)da
G(t) =
D(t)
{J(x
2) dx
-t
= 1 (x , y) I x
2 + y
2 ::;;; t2 f .
3 2 2
0 1 0
设矩阵A=
[2 3 2}P = [1
O t}B =P-'A'P, 求B+2E的特征值与特征向量，其中A为
2 2 3
0 0 1
A的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵．
十、（本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1 : ax + 2by + 3c = 0;
右：bx + 2cy + 3a = 0;
八：ex + 2ay + 3b = 0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+ b + C = 0.
十一、（本题满分10分）
已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格
品．从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：
(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率．
十二、（本题满分8分）
设总体X的概率密度为
2e -2(x-0)
j(X) = {
,
X > 0 ,
0,
xÚ0,
其中0 > 0是未知参数从总体X中抽取简单随机样本Xi ,X2, …，凡，记0= min j凡，X2, …，xn 上
(3) 如果用0 作为0的估计鼠，讨论它是否具有尤偏性．
53
--- [第 55 页] ---
历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
2004年全国硕士研究生招生考试试题
-、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
(1) 曲线y= In x上与直线X+ y = l垂直的切线方程为
．
(2) 已知f'(e
x)= X亡，且八1)= 0, 则f(x)=
(3) 设L为正向圆周x
2 + y2 = 2在第一象限中的部分，则曲线积分fxdy -2ydx的值为
(4) 欧拉方程x
2 d
2y
dy
+ 4x —
dx
dx + 2y = O(x > O)的通解为
2 1 0
(5) 设矩阵A= [1
2 0 , 矩阵B满足ABA'=2BA'+ E, 其中A为A的伴随矩阵，E是单位
(6) 二二二为入的指数分布，则Pi X > v'D[xff =
二、 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）
(7) 把X ----+ 0
十时的尤穷小量a= f cos(t2) dt ,/3 = {\an .ftdt,'}'=厂sin (t3) dt排列起来，使排在
后面的是前一个的高阶尤穷小量，则正确的排列次序是(
(A) a ,/3, y.
(B) a, y ,{3.
(C) /3, a, y.
(D) /3 , y , a.
(8) 设函数f(x) 连续，且f'(O) > 0, 则存在8 > 0, 使得（
）
(A)f(x)在(0,8)内单调增加
(B)f(x)在(-8 ,0)内单调减少．
(C)对任意的
X
E (0,8), 有f(x) > f(O).
(D)对任意的
X
E (-8,0), 有八x) > f(O).
(9) 设三an为正项级数下列结论中正确的是（
）
n = 1
co
(A)若lim nan = 0, 则级数三an 收敛
n--+co
n=l
(B)若存在非零常数入，使得lim nan =入，则级数L an 发散．
n---->oo
n = I
(C)若级数Lan 收敛，则lim n 2an = 0.
n = I
n--+oo
(D)若级数Lan 发散，则存在非零常数入，使得lim nan =入
n=l
n---+oo
(10) 设f(x)为连续函数，F (t)= {
歹
3
X
第
Pl
到
足
满
廿
力
J
”}
u
夕
数
2
．
．
＼
丿
＼
第
O
l
l
l
O
l
)
）
l
的
＜
l
O
O
l
O
O
B
把
(
a
＜
）
必
关
兑
关
兑
0
佣
丿
丿
有
）
l
B
D
l
相
相
相
相
贞
，
性
性
性
性
的
得
（
（
贝
换
阵
线
线
线
线
定
矩
组
组
组
组
给
交
零
鼠
量
量
量
对
J
夕2
非
向
向
向
向
，
第
入I
行
列
行
列
j
)
卢
）
两
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的
的
的
O
歹
意
（
于
B
B
B
B
N
(
l
任
的
关
关
关
关
布
等
为
0
相
相
相
相
分
第
（
勺
态
x
廿
u
正
贝
性
性
性
性
＝
A
Q
将
归
AB
麟
麟
麟
醮
从
a,
阵
逆
＼
—
—
丿
＼
—
|
丿
己
最
量
掀
量
服
＝
O
O
l
O
O
l
向
向
向
向
x
i
满
x
方
可阶
的
l
O
O
l
O
l
为
列
列
行
行
量
＜
3
C
的
的
的
的
变
—
是
＿
P
h
\
7
lI
B,
A
A
A
A
机
X
)
）
)
）
)
)
随
—
A
B
C
D
设
Pl
A
0~
A
A
c
设
A
(
（
设
(
(
(
(
、＼
丿
）
）
l
2
3
l
l
l
(
（
(
(A)u军
2
(B) U1-f·
(C)u宁·
(D) U1_矿
(14) 设随机变
量
X
X
1
1 ,
2 , …，Xn(n>I)独立同分
布
，且其方差为矿>0. 令Y=—三xi , 则（
）
n i=l
(A) Cov(X1 , Y)
。
一2
＝
．
n
(C)D(X + Y) = n + 2 2
1
u.
n
(B)Cov(X1 ,Y) =矿．
(D)D(X - Y)
n + I 2
=
u.
三、 解答题（本题共9小题，满分94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
(15) (本题满分12分）
设e < a < b < e2, 证明ln2b - ln2a >Ĺ(b - a).
(16) (本题满分11分）
某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻
力，使飞机迅速减速并停下．
现有一质址为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700 km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机
所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k= 6. 0 X 10勹．问从着陆点算起，飞机滑行
的最长距离是多少？
（注：kg表示千克，km/h表示千米／小时．）
(17) (本题满分12分）
计算曲面积分
I =『2x3dydz + 2y3 dzdx + 3 (z2 - I) dxdy,
其中2是曲面z= I - x2 - y气z;;::O)的上侧
55
--- [第 57 页] ---
历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
(18) (本题满分11分）
设有方程xn + nx - l = 0, 其中n 为正整数证明此方程存在唯一正实根xn,并证明当Q'. > 1
时，级数二式收敛．
n = 1
(19) (本题满分12分）
设z = z(x,y)是由x2 - 6xy + IOy2 - 2yz - l + 18 = 0确定的函数，求z = z(x,y)的极值点
和极值
(20) (本题满分9分）
设有齐次线性方程组
(1 + a) X1 + X2 + … + xn = 0,
2x1 + (2 + a) x2 + … + 2xn = 0,
(nº2),
nx1 + nx2 + … + (n + a) xn = 0,
试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解
(21) (本题满分9分）
设矩阵A=[-\
1
2
- 3
: -/J的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对
角化
(22) (本题满分9分）
设A,B 为随机事件，且P(A) = 1
1
1
— P(B I A) =—
—
P(A I B) =
4'
3'
2
X = { I ,A 发生，
O,A不发生；
求：(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布；
(II)X与Y的相关系数Pxr
y = {I ,B 发生，
O,B不发生
，令
(23) (本题满分9分）
56
设总休X的分布函数为
F (X ;/3) = 1 I -7, X > I ,
0,
X::::,; 1,
其中未知参数/3 > 1 ,X 1 ,X2, …, xn 为来自总体X的简单随机样本，求：
(I)/3的矩估计量；
(II)/3的最大似然估计最
--- [第 58 页] ---
2005年真题
2005年全国硕士研究生招生考试试题
-、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
(1) 曲线y=
X
2x + 1 的斜渐近线方程为
(2) 微分方程xy'+2y = xln x满足y(1)= -点的解为
(3) 设函数u(x y z)
1
= 1 + —+ L 十三单位向量n= —(1,1,
6
12
18 '
1)'则逆
If
an ( 1 ,2,3)
.
(4) 设D是由锥面z= J; 了厂尸与半球面z= J R
2 -x
2 -y
2 围成的空间区域，2 是0的整个边界
的外侧，则ff xdydz + ydzdx + zdxdy =
.
(5) 设叮生，U3 均为3维列向量，记矩阵
A = (a1 , a2 , a3) , B = (a1 + a2 + a3 , a1 + 2a2 + 4a3 , a1 + 3a2 + 9a3) .
如果IA I = 1, 那么IB I=
(6) 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从1 '…，X中任取一个数，记为Y, 则PjY = 2\ =
二、 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）
(7) 设函数f(x)= ! 巴门了丁勹
了，则f(x)在(-oo,+oo)内（
）
(A)处处可导
(B)恰有一个不可导点．
(C)恰有两个不可导点
(D)至少有三个不可导点
(8) 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M¢=> N"表示"M的充分必要条件是N",则必有（
）
(A)F(x)是偶函数¢=> f(x)是奇函数
(B)F(x)是奇函数台J(x)是偶函数
(C)F(x)是周期函数台f(x)是周期函数
(D)F(x)是单调函数¢=> J(x)是单调函数．
(9) 设函数u(x,y)= cp(x +y) +中(x -y) +厂"'(t)dt '其中函数中具有二阶导数，u具有一
X 一y
阶导数，则必有（
）
a 2u
a 2u
a 2u
a 2u
a 2u
a 2u
a 2u
a 2u
(A)— =- —
(B)— = —
(C)
= —
D)
= —
如2
矿
矿
ay
2·
瓣y
ay 2·
(
a讥y
如2·
(10) 设有三元方程xy -zln y + e
xz = l'根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻
域内该方程（
）
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z= z(x,y).
(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z= z(x,y).
(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z= z(x,y).
(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y= y(x,z).
57
--- [第 59 页] ---
历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
(11) 设入1 ' 入2 是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为a1 ,a2'则a1 ,A (a1 + a2)线
性无关的充分必要条件是（
）
(A)入1 ]0.
(B)入2 ]0.
(C)入1= 0.
(D)入2= 0.
(12) 设A为n(n=2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A* ,B*分别为A,B的伴
随矩阵，则（
）
(A)交换A*的第1列与第2列得B*.
(B)交换A的第1行与第2行得B*.
(C)交换A的第1列与第2列得-B*.
(D)交换A*的第1行与第2行得-B*.
(13) 设二维随机变鼠(X,Y)的概率分布为
。
l
O
l
。b 4
a
0. 1
已知随机事件jX= Ol与jX+Y=ll相互独立，则（
）
(A)a = 0. 2,b = 0. 3.
(B) a = 0. 4 , b = 0. 1.
(C) a = 0. 3 , b = 0. 2.
(D) a = 0. 1 , b = 0. 4.
(14) 设X1 ,X2'…，凡(n;:::2)为来自总体N(O,1)的简单随机样本，X为样本均值，5
2为样本方差，
则（
）
(A) nX -N (0 , 1) .
(C) (n - I) X
s
-t(n-I).
(B) nS
2 -x
2 (n) .
(n -1)对
(D)
-F( l,n-1).
ix:
,=2
三、 解答题（本题共9小题，满分94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
(15) (本题满分11分）
设D= 1 (x , y) I x
2 + y
2 òIi, x=0 , y=0 i , [ 1 + x
2 + y勹表示不超过1+ x
2 + y
2的最大整
数，计算二重积分§xy[ 1 + x
2 + y勹dxdy.
(16) (本题满分12分）
求幕级数ó(- lt-1 [ 1 + n(2n
l
-1)]产的收敛区间与和函数f(x).
(17) (本题满分11分）
如图，曲线C的方程为y=
J(x)'点(3,2)是它的一个拐点，直线ll与
µ分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).
设函数J(x)具有三阶连续导数，计算定积分
r (X
2 + X) j111 (X) dx.
。
4
3
2
y
58
01
I
2
3
4
X
--- [第 60 页] ---
2005年真题
(18) (本题满分12分）
巳知函数f(x) 在[ 0, 1]上连续，在(O,1)内可导，且f(0) = 0 , J(l) = 1. 证明：
(I)存在g E (0,1), 使得J传）= 1 - t;
(II)存在两个不同的点7/,?
E (0,1), 使得f'(YJ)f'(?)=l.
(19) (本题满分12分）
设函数叭y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分
i 叭y)dx+ 2xydy的值恒为同一常数．
2x + y
(I)证明：对右半平面X > 0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有
i 叭y)dx + 2xydy = 0 ;
C
2x
2 + y
4
(II)求函数叭y)的表达式
(20) (本题满分9分）
已知二次型j(X1,X2 ,X3) = (1 - a)式+(1 - a)式+2式+2(1 + a)x 1x2的秩为2.
(I)求a的值；
(II)求正交变换X= Qy, 把f(x l,X2 ,X3)化成标准形；
（川）求方程八X1,X2 ,x3) = 0的解
(21) (本题满分9分）
已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B = [Ï ! !}k为常数），且
3 6 k
AB =0, 求线性方程组Ax= 0的通解
(22) (本题满分9分）
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x
) = {
,y
求：(I) (X, Y)的边缘概率密度八(x)'八(y);
(II)Z = 2X - Y的概率密度儿(z).
(23) (本题满分9分）
1 , 0 < X < l , 0 < y < 2x ,
0, 其他
设X1,X2'…，凡(n > 2)为来自总体N(O,1)的简单随机样本，X为样本均值，记Yi
= xi -x,
i = l ,2, ···,n.
求：(I) Yi的方差D(YJ, i = l ,2, …，n;
(II) Y 1 与Yn的协方差Cov(Y1,YJ.
59
--- [第 61 页] ---
历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
2006年全国硕士研究生招生考试试题
-、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
(1) l' xln(l + x)
1m
=
x---->() 1 -COS X
(2) 微分方程y'= y (I -x) 的通解是
(3) 设2是锥面z =五了三芞0 :::;; z ::::;; 1)的下侧，则『xdydz + 2ydzdx + 3 (z -1) dxdy =
.
(4) 点(2,1,0)到平面3x + 4y + 5z = 0的距离d =
(5) 设矩阵A = (2
1),E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA = B + 2E, 则IB I =
-1 2
(6) 设随机变量X 与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，由P1max1X,Yf ::S; 1 f =
二、 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）
(7) 设函数y = f(x)具有二阶导数，且j'(X) > Q , j" (X) > Q , dx为自变量x在点x。处的增量，dy
与dy分别为f(x)在点x。处对应的增量与微分，若dx > 0, 则（
）
(A) 0 < dy < Lly.
(C) Lly < dy < 0.
(B) 0 < Lly < dy.
(D) dy < Lly < 0.
(8) 设八x,y)为连续函数，则J于d0f J(rcos 0, rsin 0) rdr等于（
）
0
0
罕
五了
罕
J J
(A)
dx
f(x,y)dy.
(B) J 叫
f(x,y)dy.
。
。
。
(CJ l。卒dyf尸八X' y)dx.
(D) l。卒dyf勹( x,y)dx.
(9) 若级数Ian收敛，则级数（
）
n = 1
00
00
(A) L I an I收敛
(B) I(-1)飞收敛．
n = 1
n=l
00
00
(C) 三anan+l收敛.
(D) I
n=l
n=l
an + a
2
n+l收敛．
(10) 设f(x,y) 与叭x,y)均为可微函数，且伐'.(x,y)¥,O. 已知(x。,y。)是f(x,y)在约束条件叭x,y)
60
= 0下的一个极值点，下列选项正确的是（
）
(A)若J:(x。,y。) = 0'则八'.(x。,y。) = 0.
(B)若f:(x。,y。) = 0, 则J;(x。,y。)¥,0.
(C)若八'.(x。,y。)¥,0, 则八'.(x。,y。) = 0.
(D)若J:(x。,y。)¥,0'则八'.(x。,y。)¥,0.
--- [第 62 页] ---
2006年真题
(11) 设妇a2'…，q均为n维列向量，A是mxn矩阵，下列选项正确的是（）
(A)若a1 ,a2'…，q线性相关，则Aa1 ,Aa2 , …, Aas 线性相关．
(B)若a1 ,a2 ,…，q线性相关，则Aa1 ,Aa2 , …，Aas 线性无关
(C)若a1 ,a2 ,…,q线性无关，则Aa1 ,Aa2 , …，Aas 线性相关．
(D)若a1 ,a2 , …，＂，线性无关，则Aa1 ,Aa2 , …，Aas 线性无关
(12) 设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B ,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,
记pè[é
ê
ë'则（）
( 13 ) i?B一为。三：!
且P(B) > O ,P(A 10} ;,:l;:
有（）
(A)P(A U B) > P(A).
(B)P(A U B) > P(B).
(C)P(A U B) = P(A).
(D)P(A U B) = P(B).
(14) 设随机变址X服从正态分布N(µ1 ,矿），Y服从正态分布N(µ2 ,吐），且
p 1 I X -µI I < 1 l > p 1 I y -µ2 I < 1 l'
则必有（
(A)u1 <贮·
(C)µ1 <µ2.
、
＼
丿
(B) 0"1 >贮·
(D)µ1 >µ2.
三、 解答题（本题共9小题，满分94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
(15) (本题满分10分）
设区域D= 1 (x , y) I x
2 + y
2 ::::; 1 , x ;;:: 0 f , 计算二重积分I =』
1ì
xy
2dxdy.
Dl+x +y
(16) (本题满分12分）
设数列1xJ满足0 < X1 < 1T ,Xn+l = sin Xn (n = l ,2 , …）．
(I)证明lim xn 存在，并求该极限；
n--+oo
(II)计算lim(叶
(17) (本题满分12分）
将函数f(x) =
X
2 展开成x的幕级数．
2 + X - X
(18) (本题满分12分）
矿z
a五
设函数f(u)在(O,+oo)内具有二阶导数，且z = f(,;;. 了已芍满足等式
+
= 0.
如2
矿
(I)验证f"(u)+ f'(u)
u
= O;
(II)若八1) =0 , f'(l) =1 , 求函数八u)的表达式
(19) (本题满分12分）
设在上半平面D=J(x ,y)ly>O! 内，函数f(x ,y)具有连续偏导数，且对任意的t> 0都有
61
--- [第 63 页] ---
历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
j(tx , ty) = t -
2j(X , y) .
证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有i计(x,y)dx -xf(x,y)dy = 0.
(20) (本题满分9分）
X1 + X2 + x3 + X4 = - 1 ,
已知非齐次线性方程组｛伍+ 3x, + 5x, - x, = - I , 有3个线性尤关的解
ax1 + x2 + 3x3 + bx4 = l
(I)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2;
(II)求a,b的值及方程组的通解
(21) (本题满分9分）
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3.向阰a1= (- 1 ,2, - 1) T ,a2 = (0, - 1 , 1尸是
线性方程组Ax=0的两个解
(I)求A的特征值与特征向最；
(II)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ= A.
(22) (本题满分9分）
1
2'
—
-l
(23) (本题满分9分）
62
设总体X的概率密度为
J(x;0) = r- 0,
Ç:: : ::
o,
其他，
其中0是未知参数(0 < 0 < l). X1 ,X2, …，xn 为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值
X1 ,X2'…，xn 中小于1的个数求0的最大似然估计．
--- [第 64 页] ---
2007年真题
2007年全国硕士研究生招生考试试题
-、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
(1) 当x----+O
十时，与石等价的尤穷小量是（
）
1 +x
(A) 1 -e石.
(B) ln
.
(C) ri-;:rx - 1.
(D) 1 -cos五．
1 -石
1
(2) 曲线y=—
X + ln(l +ex)渐近线的条数为（
）
(A)O.
(B)l.
(C)2.
(D)3.
(3) 如图，连续函数y=f(x)在区间[-3, -2] , [ 2 ,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在
区间[-2,0] ,[0,2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周设Fc x) = r 1c t) dt , 则下列结
论正确的是(
)
y
3
(A)F(3) =- —F(-2).
4
5
(B)F(3) =—F(2).
4
3
(C)F(-3) =—F(2).
4
5
(D)F(-3) =- —F(-2).
4
(4) 设函数f(x)在X=0处连续，下列命题错误的是（
）
J(x)
f(x) +八-x)
(A)若lim
存在，则J(O)=0.
(B)若lim
x----t()
X
x刊
X
f(x)
J(x) -f(- x)
(C)若lim
存在，则f'(O)存在.
(D)若lim
x刊
X
x----t()
X
存在，则f(O)=0.
存在，则f'(O)存在．
(5) 设函数f(x)在(O,+oo)上具有二阶导数，且f"(x) >0, 令Un= J(n) (n = l ,2, …)，则下列结论
正确的是（
）
(A)若U1 > U2 '则luJ 必收敛.
(B)若U1 > U2 '则飞｝必发散．
(C)若U1 < U2 '则飞｝必收敛
(D)若U1 < U2 '则luJ 必发散．
(6) 设曲线L: f (x , y) = 1 ( J(x , y)具有一阶连续偏导数）过第II 象限内的点M和第W象限内的点
N,I'为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分小于零的是（
）
．．．
(A)f J(x , y) dx.
(C)f J(x ,y) ds.
(B)f J(X ,y) dy.
(D) 』八(x,y)dx +J;(x,y)dy.
(7) 设向量组a1,a2 ,a3 线性无关，则下列向量组线性相为的是（
）
(A)a1
一也立-a3,a3
一a1.
(C)a1 -2也立-2a3,a3 -2a1.
(8) 设矩阵AÄ
[
=: : =
nBÄ[Å
(B)a1 十也立+a3,a3 +a1.
(D)a1 +2也立+2a3,a3 +2a1.
0 0
; Æ}则A与B
(
)
63
--- [第 65 页] ---
历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
(A)合同，且相似
(B)合同，但不相似
(C)不合同，但相似
(D)既不合同，也不相似
(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(O
(10) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y 不相关，八(x)' 八(y)分别表示X,Y 的概率
密度，则在Y = y 的条件下，X 的条件概率密度fx1y(x I y)为（
）
(A)八(x).
(B)八(y).
(C)fx(x)fy(y).
二、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
(12) 设八u,v)为二元可微函数
az
, z =f(xY ,y )'则— =
祁
·
(D)
(13) 二阶常系数非齐次线性微分方程y"-4y'+3y = 2产的通解为y =
.
(14) 设曲面Ĕ:lxl + IYI + lzl = 1, 则册(X+ I y I) dS =
.
0 1 0 0
(15) 设矩阵A = 0 0 1 0
0 0 0 1 I, 则A3 的秩为
0 0 0 0
八(x)
fy(y)"
(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于—的概率为
三、 解答题（本题共8小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
(17) (本题满分11分）
求函数f(x,y) = x
2 +2y2 -x
2y
2 在区域D = l (x , y) I x
2 + y2 :::;; 4 , y;:: 0 l上的最大值和最小值
(18) (本题满分10分）
计算曲面积分I =
x zdydz + 2zydzdx + 3xydxdy, 其中2为曲面z
= l -x2 -L(o冬:::;;1)的上
』
.!
4
(19) (本题满分11分）
设函数八x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a) = g(a),
f(b) = g(b)'证明：存在乒(a,b), 使得f "(妒
= g"传）．
(20) (本题满分10分）
64
设幕级数三a了在(-oo,+oo)内收敛，其和函数y(x)满足
n=O
y" -2xy'-4y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1.
(I)证明an+ 2
=
2 an,n = I,2, …；
n + I
(II)求y(x)的表达式
--- [第 66 页] ---
2007年真题
(21) (本题满分11分）
设线性方程组
,
0＝
。＝
，
3
x
。
3
_＿
2
a
x
3
a
x
+
＋
2
2
＋
2
x
x
x
2
4
+
＋
+
l
l
l
x
x
x
r-
V－
一、 CD
与方程
x1 + 2x2 + x 3 = a -I
＠
有公共解
(22) (本题满分11分）
设3阶实对称矩阵A的特征值入1 = 1'入2 = 2'入3 = -2, 且a1 = (1, -1, 1尸是A的属于入1的
一个特征向械记B=A5 -4A3 +E, 其中E为3阶单位矩阵．
(I)验证a1 是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
(II)求矩阵B.
(23) (本题满分11分）
设二维随机变鼠(X,Y)的概率密度为
f(x,y) = {2-x-y, O2Yf;
(II)求Z=X+Y 的概率密度儿(z) .
(24) (本题满分11分）
设总体X 的概率密度为
1
20'
0
(1) 设函数j(X) = f
2 ln (2 + t) dt , 则f '(x)的零点个数为（）
(A)O.
(B)l.
(C)2.
(2) 函数八x,y) = arctan 王在点(O,1)处的梯度等于（）
y
(D)3.
(A) i.
(B) -i.
(C)j.
(D) -j.
(3) 在下列微分方程中，以y = C1 ex + C2cos 2x + C3sin 2x (C1, C2, C3 为任意常数）为通解的是
（）
(A)y11
1 + y" -4y'-4y =0.
(B)y111 + y" +4y'+4y =0.
(C)y11
1 -y" -4y'+4y =0.
(D)y111 -y" +4y'-4y =0.
(4) 设函数f(x)在( -oo, +oo)内单调有界，飞｝为数列，下列命题正确的是（）
(A)若jxJ收敛，则lJ(X n)f收敛
(B)若飞｝单调，则仇xJf收敛．
(C)若lJ(xn) i 收敛，则飞｝收敛
(D)若订(xJ l 单调，则飞｝收敛
(5) 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3 =0, 则（）
(A)E -A不可逆，E+A不可逆
(B)E-A不可逆，E+A可逆．
(C)E-A可逆，E+A可逆.
(D)E-A可逆，E+A不可逆．
(6) 设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程
z'
(x,y,z)A[ëJ = 1
在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则A的正特征值
的个数为（）
(A)O.
(B)l.
(C)2.
(D)3.
y ，
(7) 设随机变址X,Y独立同分布，且X 的分布函数为F(x),则Z = maxjX,Yf的分布函数为（）
(A)F
2(x).
(B)F(x)F(y).
(C)l - [1 -F(x) ]
2. (D) [1 -F(x)] [1 -F(y)].
(8) 设随机变量X-N(0,1),Y-N(l ,4), 且相关系数PxY = 1, 则（）
(A) P j Y = -2X -1 f = 1.
(B) P j Y = 2X -1 f = 1.
(C) P 1 Y = -2X + If = 1.
(D) P j Y = 2X + If = 1.
二、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
(9) 微分方程xy'+y =0满足条件y(l) = 1 的解是y =
.
(10) 曲线sin(xy) + ln (y -x) = x 在点(0,1)处的切线方程是
．
(11) 巳知幕级数L an(x +2)
n 在X =0 处收敛，在X = -4 处发散，则幕级数L an(x -3尸的收
敛域为
66
n=O
n=O
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2008年真题
(12) 设曲面2是z= J4二ó了的上侧，则§xydydz+ xdzdx + x2 dxdy =
(13) 设A为2阶矩阵，＂口a2为线性无关的2维列向最，Aa1 = 0 ,Aa2 = 2a1
十a2 '则A的非零特征
值为
(14) 设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P1X=E(X勹｝＝
三、 解答题（本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
(15) (本题满分9分）
求极限lim [ sin x -sin (sin x) ] sin x
(16) (本题满分9分）
计算曲线积分fsin 2xdx + 2 (x2 -1) ydy, 其中L是曲线y= sin x上从点(0,0)到点('lT,o)的一
段
(17) (本题满分11分）
已知曲线C: { x2 +y2 -2z2 = 0 '求曲线C上距离xOy面最远的点和最近的点
X + y + 3z = 5,
(18) (本题满分10分）
设f(x)是连续函数，
(I)利用定义证明函数Fc x) = r f (t) dt可导，且F'(x) = f(x) ;
(II)当J(x)是以2为周期的周期函数时，证明G(x) = 2 f J(t) dt - x f J(t) dt也是以2为周
期的周期函数
(19) (本题满分11分）
oo (-l)n-1
将函数j(X) = 1 -X
2 (0 冬X::,;;;'lT)展开成余弦级数，并求I
2
的和
(20) (本题满分10分）
设a,p为3维列向量，矩阵A= 血
T+PP
T '其中a
T,P
T分别是a,p的转置．证明：
(I) 秩r(A)=:::;2;
(II)若a,/J线性相关，则秩r(A) <2.
(21) (本题满分12分）
设n元线性方程组Ax=b,其中
2a
I
a
2
A=
2a
`
2
l
.
a
．，
2a
a
2
X=
X1
X2 . I,
1
2a
X
n
b=
l
0
…
0
(I) 证明行列式IA I =(n+l) a飞
(II)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求X1;
c m)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解
67
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历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
(22) (本题满分11分）
1
设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P1X=if =—(i= -1,0,1),Y的概率密度为
3
八(y)= { 1, Ory
(23) (本题满分11分）
68
设X1,X2 '…, xn是总体N(µ矿）的简单随机样本，记
—
l
X=— Ix
n
i = 1
1
2
1
;,
s2 =
I (xi -X)
2,
T = x - —S气
n -I i=l
n
(I)证明T是矿的无偏估计最；
(II)当µ=0,(Y=I时，求D(T).
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2009年真题
2009年全国硕士研究生招生考试试题
-、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）
(1) 当x----+O时，f(x)
= x -sin ax与g(x)
= x
2ln(l -bx)是等价无穷小量，则（
(A)a
= l,b
= -—.
1
6
(B)a
= l,b
= —.
1
6
1
1
(C)a
= -1,b
= -—
6"
(D)a
= -1,b
= —
6"
(2) 如图，正方形l(x,y)llxl::::;I,lyl:=::;If被其对角线划分为四个区
域Dk(k = I,2,3,4),lk
= ff ycosxdxdy, 则阱
4 jlk f = (
)
Dk
(A)/1 .
(B)/2.
(C)/3.
(D)/4.
(3) 设函数y
= f(X)在区间[ -1,3]上的图形如右图所示，则函数
F (X) = J f (t) dt的图形为（
）
F(x)+
F(x)
、
＼
丿
f(x)
2
1
(A)
F(x)
(B)
F(x)
l
3 X
-1 01
1
(C)
I
(D)
(4) 设有两个数列1 a n \, 1 b n \, 若lim a n
= 0, 则（
）
n---+oo
(A)当Ib 收敛时，L a nb n 收敛
(B)当I b n 发散时，三a nb n 发散．
n =l
n =l
n =l
(C)当I
I b n I收敛时，I a¨ 忙收敛
(D)当I
I b n I发散时，I a¨ 忙发散．
n =l
n =l
1
1
(5) 设回归也是3维向鼠空间R
3的一组基，则由基a巨2a2,3a3 到基a1 十生立＋也,a3 + a1
的过渡矩阵为（
）
1 。
1
1 2 0
(A) 2 2 0
(B) 0 2 3
0 3 3
1 。
3
69
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历年考研数学真题解析及复习思路（数学一）
1
1
1
1
1
1
2
4
6
2
2
2
1
1
1
(D)
1
1
1
(C) I - —
2
4
6
4
4
4
!_
- _!_
_!_丿
1
1
1
2
4
6
l-—
—
—
6
6
6
(6) 设A,B 均为2阶矩阵，A* ,B*分别为A,B 的伴随矩阵，若IAl=2, IBl=3,则分块矩阵
(0 AJ的伴随矩阵为（
）
B
0
(A)(
0
3B"J-
(B)(
0
2B'
J-
0
3A"
O
2A'
2A•
0
3A•
0
(C) (
2B•
0
J-
(D) (
3B•
0
J-
(7) 设随机变蜇X 的分布函数为F(x) =0. 3中(x)+O. 7叫(x;
l
),其中中(x)为标准正态分布的分
布函数，则E(X) = (
)
(A)O.
(B)O. 3.
(C)O. 7.
(D)l.
(8) 设随机变鼠X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(O,I),Y的概率分布为P1Y=Of =
1
PjY=lf =—．记凡(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函数Fz(z)的间断点个数为（
）
2
(A)O.
(B) 1.
(C)2.
(D)3.
二、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）
(9) 设函数J(u,v)具有二阶连续偏导数，z =f(x,xy), 则
＝
．
扩z
祝句
(10) 若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ ay'+ by = 0 的通解为y = (C1 + C2x) e
x , 则非齐次方程
y" + ay'+ by = X满足条件y(O) =2,y'(O) =0 的解为y =
.
(11) 已知曲线L;y =x
2(0wx冬互），则f xds =
.
(12) 设fl = 1 (x , y , z) I x
2
十y
2+z2wIf,则Jff z2 dxdydz =
.
(13) 若3维列向扯a,/J满足a
T/J =2, 其中a
T 为a 的转置，则矩阵/Ja
T 的非零特征值为
(14) 设X1,X2,…，xm 为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X 和5
2分别为样本均值和样
本方差，若X+kS
2 为n矿的无偏估计量，则k =
.
三、 解答题（本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
(15) (本题满分9分）
求二元函数J(x,y) =x气2+y
2) +ylny 的极值
(16) (本题满分9分）
co
co
设an 为曲线y =x
n与y = x
n
+
1 (n = I , 2 , …)所围成区域的面积，记S1 = L an 心= I a2n- 1,
求S1与S2 的值
70
n=l
n=l
--- [第 72 页] ---
2009年真题
(17) (本题满分11分）
2
2
椭球面51 是椭圆王十L=l绕x轴旋转而成，圆锥面S2 是由过点(4,0)且与椭圆王+L=l
4
3
4
3
相切的直线绕x轴旋转而成
(I)求51 及S2的方程；
(II)求51与s2 之间的立体的体积．
(18) (本题满分11分）
(I)证明拉格朗日中值定理：若函数j(X) 在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，则存在
乒(a,b) ,使得J(b) -/(a) = f I (妒(b-a).
(II)证明：若函数f(x)在X=0处连续，在(0,8)(8>0)内可导，且limf'(x) = A , 则fä(O)存
无----;() +
在，且få(O) =A.
(19) (本题满分10分）
计算曲面积分l=册xdydz+ ydzdx + zæxdy, 其中2 是曲面2x2+ 2y
2 + z
2 = 4的外侧
.I
(x2 + y
2 五）了
(20) (本题满分11分）
设A[-l
:j,t1 [J
(I)求满足At产t1,A
2女=t1的所有向量t2,t辽
(II)对(I)中的任意向量t2,女，证明g尸t2,t3 线性无关．
(21) (本题满分11分）
设二次型f(x1, x2 , x3 ) = ax; + ax; + (a -l)式+2x1x3 -2X2狂
(I)求二次型J的矩阵的所有特征值；
(II)若二次型J的规范形为Yi+式，求a的值
(22) (本题满分11分）
袋中有1个红球、2个黑球与3个自球现有放回地从袋中取两次，每次取一个球以X,Y,Z
分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数
(I)求PjX=llZ=OI;
(II)求二维随机变量(X,Y)的概率分布．
(23) (本题满分11分）
设总体X的概率密度为八）
入
2xe 一入x
x >0
o,
X = \
'
, 其中参数入（入>0)未知，XI ,X2 '…，xn 是来
其他，
自总体X的简单随机样本．
(I)求参数入的矩估计量；
(II)求参数入的最大似然估计掀．
71